Binomial Distribution

Expectation of Binomial Random Variable

Binomial Random Variable이 여러 개의 Bernoulli Random Variable의 합으로 나타내짐과 Linearity를 이용하면 쉽게 계산 가능하다.

X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

이고, Bernoulli Random Variable $X_{i}$ 의 기대 값은 지시 변수이므로 $p$ 이고,

E [X] = E [X_{1}] + E [X_{2}] + \dots + E [X_{n}] = n p

마찬가지로 여러 개의 Bernoulli Random Variable의 합으로 나타낼 수 있고, 서로 모두 독립적이므로 각 분산의 합과 같다.

Bernoulli Random Variable $X_{i}$ 분산 값은

V [X_{i}] = E [X_{i}^{2}] - μ^{2} = x = 0 \sum 1 x^{2} P (X = x) - p^{2} = p - p^{2} = p (1 - p)

따라서 이항 확률 변수의 분산 값은

V [X] = n \cdot p (1 - p)